由于2^P-1型的素數具有獨特數學性質，千百年來，許多著名數學家以及無數數學愛好者對它情有獨鐘。其中，17世紀的法國數學家馬林·梅森在這方面有過重要貢獻。為了紀念梅森，數學界就將2^P-1 型的素數稱為“梅森素數”（the Mersenne prime）。這種素數珍奇而迷人，因而被稱為“數海明珠”。梅森素數歷來是數學領域的重要分支——數論研究的一項重要內容，也是當今科學探索的熱點和難點之一。
梅森素數貌似簡單，但當指數P值較大時，其素性檢驗的難度就會很大；此外，它的探究需要高深的理論和純熟的技巧，以及艱巨的計算。例如：1772年，享有“數學英雄”美譽的瑞士數學家及物理學家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1(即2的31次方減1)是個素數；該數有10位（2147483647），堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的毅力與技巧都令人贊嘆不已；難怪法國大數學家拉普拉斯向他的學生們說：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”在“手算筆錄年代”，人們歷盡艱辛，共計才找到12個梅森素數。
電子計算機的出現，大大加快了探究梅森素數的步伐。1996年初，美國數學家及程序設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，并把它放在網頁上供人們免費使用。這一計算程序就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全球首個基于互聯網的網格計算項目。至今人們通過該項目已經找到17個梅森素數。例如：2018年，美國數學愛好者帕特里克·拉羅什通過GIMPS項目，成功發現第51個梅森素數——2^82589933-1(即2的82589933次方減1)；該素數有24862048位，是迄今為止人類發現的最大素數。目前，全球有近75萬人參與GIMPS項目，動用了超過195萬核中央處理器（CPU）聯網來尋找梅森素數——這在數學史上前所未有，在科學史上也極為罕見。
值得一提的是，人們在尋找梅森素數的同時，對其重要性質——分布規律的研究也持續進行著。從已發現的梅森素數來看，它們在正整數中的分布極不規則。因此，研究梅森素數的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。1992年，中國數學家及語言學家周海中運用聯系觀察法和不完全歸納法，率先給出了梅森素數分布的精確表達式，這一重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格指出：“周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法，其創新性還表現在揭示新的規律上。”
探究梅森素數具有重大意義，是發現已知最大素數的最有效途徑，有力地推動了素數論的研究。另外，梅森素數在計算機科學領域具有重要應用價值——它可以用來檢測計算機系統或程序中存在的問題。許多專家認為，梅森素數的研究成果一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數學協會主席、《素數的音樂》一書作者馬科斯·索托伊甚至認為，梅森素數的探究進展不但是人類智力發展在數學上的一種標志，也是整個科技發展的里程碑之一。
（作者單位：澳大利亞國立大學物理與數學學院）
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